伽罗瓦理论 (Galois Theory)

1. 域扩张 (Field Extension)

设 $F \subseteq E$ 是域，称 $E$ 为 $F$ 的扩域，记为 $E/F$。

• 扩张次数 $[E:F]$: $E$ 作为 $F$-线性空间的维数。
• 代数扩张: $E$ 中每个元素都是 $F$ 上某个多项式的根。

2. 分裂域 (Splitting Field)

多项式 $f(x) \in F[x]$ 在 $E$ 中可以完全分解为一次因式，且 $E$ 由这些根生成。

3. 伽罗瓦群 (Galois Group)

$$\text{Gal}(E/F) = \{ \sigma \in \text{Aut}(E) \mid \forall a \in F, \sigma(a) = a \}$$

即保持基域元素不动的 $E$ 的自同构群。

4. 伽罗瓦基本定理

设 $E/F$ 是有限伽罗瓦扩张，$G = \text{Gal}(E/F)$。 存在一一对应关系：

$$\{ \text{Subgroups of } G \} \longleftrightarrow \{ \text{Intermediate Fields } F \subseteq K \subseteq E \}$$

• 对应关系: $H \mapsto E^H$ (不动点域)。
• $[E: E^H] = |H|$.
• $H \unlhd G \iff E^H/F$ 是正规扩张。此时 $\text{Gal}(E^H/F) \cong G/H$.

5. 应用

• 尺规作图: 三等分角、倍立方体、化圆为方不可能。
• 五次方程: 一般五次方程没有根式解（因为 $S_5$ 不是可解群）。