Lebesgue 积分

1. Riemann 积分的局限性

• 黎曼积分依赖于定义域的划分，对函数的光滑性要求较高。
• 极限与积分交换次序的条件较强。

2. Lebesgue 积分的定义

基于值域的划分。

• 非负简单函数的积分
• 非负可测函数的积分
• 一般可测函数的积分

3. 极限定理

• 单调收敛定理 (MCT)
• Fatou 引理
• 控制收敛定理 (DCT)

4. $L^p$ 空间

• Hölder 不等式
• Minkowski 不等式
• $L^p$ 空间的完备性

推荐资源

• Terence Tao: An Introduction to Measure Theory