极限定理

1. 大数定律 (Law of Large Numbers)

• 弱大数定律 (WLLN): 依概率收敛。

  $$\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X}_n - \mu| \ge \epsilon) = 0$$

• 强大数定律 (SLLN): 几乎处处收敛。

  $$P(\lim_{n \to \infty} \bar{X}_n = \mu) = 1$$

2. 中心极限定理 (Central Limit Theorem, CLT)

独立同分布 (i.i.d.) 的随机变量序列之和的标准化分布收敛于标准正态分布。

$$\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)$$

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