常见拓扑性质 (Topological Properties)

1. 分离公理 (Separation Axioms)

• $T_0$ (Kolmogorov): 任意两点中至少有一点有邻域不包含另一点。
• $T_1$ (Fréchet): 任意两点中，每一点都有邻域不包含另一点（单点集为闭集）。
• $T_2$ (Hausdorff): 任意两点都有不相交的邻域。
• $T_3$ (Regular): $T_1$ + 任意闭集和不属于它的点有不相交邻域。
• $T_4$ (Normal): $T_1$ + 任意两个不相交闭集有不相交邻域。
• Urysohn 引理: 正规空间中不相交闭集可被连续函数分离。

2. 连通性 (Connectedness)

• 连通: 空间不能被表示为两个非空不相交开集的并。
• 道路连通 (Path Connected): 任意两点间存在连续路径。
• 道路连通 $\implies$ 连通。反之不成立（如正弦曲线的闭包）。

3. 紧致性 (Compactness)

• 紧空间: 任意开覆盖都有有限子覆盖。
• Heine-Borel 定理: $\mathbb{R}^n$ 的子集是紧的 $\iff$ 它是闭且有界的。
• Tychonoff 定理: 任意个紧空间的积空间仍是紧的。
• 列紧: 任意序列都有收敛子列。在度量空间中，紧致 $\iff$ 列紧。

4. 可数性公理

• 第一可数 (C1): 每个点都有可数邻域基。
• 第二可数 (C2): 拓扑有可数基。
• C2 $\implies$ C1。度量空间都是 C1 的。