Lebesgue 测度

1. 测度的概念

测度是对集合“大小”的推广。

• 长度、面积、体积的推广。

2. 外测度 (Outer Measure)

设 $E \subset \mathbb{R}^n$，定义 Lebesgue 外测度 $m^*(E)$。

$$m^*(E) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^{\infty} |I_k| : E \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k \right\}$$

3. 可测集合 (Measurable Sets)

集合 $E$ 称为 Lebesgue 可测的，如果对任意 $A \subset \mathbb{R}^n$，都有：

$$m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c)$$

推荐资源

• Wiki: Lebesgue measure