环与域 (Rings and Fields)

1. 环 (Ring)

集合 $R$ 连同两个运算 $(+, \cdot)$ 构成环，如果：

1. $(R, +)$ 是阿贝尔群。
2. $(R, \cdot)$ 满足结合律。
3. 满足分配律: $a(b+c) = ab + ac$.

若乘法有单位元，称 $R$ 为幺环。 若乘法满足交换律，称 $R$ 为交换环。

2. 理想 (Ideal)

设 $R$ 是环，$I \subseteq R$ 是加法子群。

• 若 $\forall r \in R, x \in I \implies rx \in I$，称 $I$ 为左理想。
• 若 $\forall r \in R, x \in I \implies xr \in I$，称 $I$ 为右理想。
• 若既是左理想又是右理想，称 $I$ 为双边理想。
• 商环: $R/I$ 构成环当且仅当 $I$ 是双边理想。

3. 整环 (Integral Domain)

无零因子的交换幺环。

• 零因子: 若 $a \ne 0, b \ne 0$ 但 $ab = 0$。

4. 域 (Field)

所有非零元素都可逆的交换幺环。

• 例子: $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Z}_p$ (p为素数)。
• 域一定是整环。
• 有限整环一定是域。

5. 多项式环

设 $F$ 是域，$F[x]$ 是系数在 $F$ 中的多项式环。

• $F[x]$ 是欧几里得整环 (ED)，也是主理想整环 (PID)，也是唯一分解整环 (UFD)。
• 不可约多项式: 不能分解为两个次数更低的多项式乘积。