有限群表示论 (Representation Theory)

1. 表示的定义

群 $G$ 在向量空间 $V$ 上的表示是一个群同态：

$$\rho: G \to GL(V)$$

即每个群元素对应一个可逆线性变换。

• 维数: $\dim V$.

2. 不可约表示 (Irreducible Representation)

若 $V$ 没有非平凡的 $G$-不变子空间，称 $\rho$ 为不可约表示。

• Maschke 定理: 有限群在特征为0的域上的任何表示都可以分解为不可约表示的直和（完全可约）。

3. 特征标 (Character)

$\chi_\rho: G \to \mathbb{C}$ 定义为 $\chi_\rho(g) = \text{Tr}(\rho(g))$。

• 特征标是类函数（在共轭类上取值相同）。
• 舒尔正交关系: 不可约特征标构成类函数空间的一组正交基。

  $$\langle \chi_i, \chi_j \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_i(g) \overline{\chi_j(g)} = \delta_{ij}$$

4. 特征标表

列出群的所有共轭类和所有不可约特征标的值。是分析群结构强有力的工具。