复变函数的展开

1. 泰勒级数 (Taylor Series)

若 $f(z)$ 在圆盘 $|z - z_0| < R$ 内解析，则 $f(z)$ 可在该圆盘内展开为幂级数：

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$

其中 $c_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$。

2. 洛朗级数 (Laurent Series)

若 $f(z)$ 在圆环 $r < |z - z_0| < R$ 内解析，则：

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n$$

其中 $c_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} d\zeta$。

3. 奇点分类

• 可去奇点
• 极点
• 本性奇点

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