滤子和网 (Filters and Nets)

1. 序列收敛的局限性

在一般的拓扑空间（非第一可数）中，序列不足以刻画拓扑性质（如闭包、连续性）。需要引入网或滤子。

2. 网 (Nets)

• 有向集 (Directed Set): 非空集合 $J$ 连同二元关系 $\le$，满足自反性、传递性，且 $\forall \alpha, \beta \in J, \exists \gamma \in J, \alpha \le \gamma \land \beta \le \gamma$.
• 网: 从有向集 $J$ 到空间 $X$ 的映射 $x: J \to X$，记为 $(x_\alpha)_{\alpha \in J}$.
• 收敛: 网 $(x_\alpha)$ 收敛到 $x$，若 $\forall$ 邻域 $U$ of $x, \exists \alpha_0 \in J, \forall \alpha \ge \alpha_0, x_\alpha \in U$.

3. 滤子 (Filters)

• 定义: $X$ 上的子集族 $\mathcal{F}$ 称为滤子，若：
  1. $\emptyset \notin \mathcal{F}, X \in \mathcal{F}$.
  2. $A, B \in \mathcal{F} \implies A \cap B \in \mathcal{F}$.
  3. $A \in \mathcal{F}, A \subseteq B \implies B \in \mathcal{F}$.
• 超滤子 (Ultrafilter): 不能被真包含在任何其他滤子中的滤子。
• 收敛: 滤子 $\mathcal{F}$ 收敛到 $x$，若 $x$ 的邻域系 $\mathcal{N}_x \subseteq \mathcal{F}$.

4. 应用

• $A$ 是闭集 $\iff$ $A$ 中任何收敛网的极限仍在 $A$ 中。
• $X$ 是紧的 $\iff$ $X$ 中每个网都有收敛子网 $\iff$ $X$ 上每个超滤子都收敛。