拓扑空间与连续映射 (Topological Spaces)

1. 拓扑空间定义

设 $X$ 是一个非空集合，$\mathcal{T}$ 是 $X$ 的子集族。若 $\mathcal{T}$ 满足：

1. $\emptyset, X \in \mathcal{T}$.
2. $\mathcal{T}$ 中任意个元素的并仍在 $\mathcal{T}$ 中。
3. $\mathcal{T}$ 中有限个元素的交仍在 $\mathcal{T}$ 中。 则称 $\mathcal{T}$ 为 $X$ 上的一个拓扑，$(X, \mathcal{T})$ 称为拓扑空间。$\mathcal{T}$ 中的元素称为开集。

2. 闭集、内部、闭包

• 闭集: 开集的补集。
• 内部 (Interior) $A^\circ$: 包含在 $A$ 中的最大开集。
• 闭包 (Closure) $\bar{A}$: 包含 $A$ 的最小闭集。
• 边界 (Boundary) $\partial A = \bar{A} \cap \overline{X \setminus A}$.

3. 基与子基

• 基 (Base): 拓扑 $\mathcal{T}$ 的子族 $\mathcal{B}$，使得任一开集都可表示为 $\mathcal{B}$ 中元素的并。
• 子基 (Subbase): 拓扑 $\mathcal{T}$ 的子族 $\mathcal{S}$，使得 $\mathcal{S}$ 中元素的有限交构成的族是 $\mathcal{T}$ 的一个基。

4. 连续映射 (Continuous Maps)

设 $f: X \to Y$. 若对于 $Y$ 中的任意开集 $V$，其原像 $f^{-1}(V)$ 都是 $X$ 中的开集，则称 $f$ 是连续的。

• 同胚 (Homeomorphism): 若 $f$ 是双射，且 $f$ 和 $f^{-1}$ 都连续，则称 $f$ 为同胚。

5. 诱导拓扑

• 子空间拓扑: $A \subseteq X$，$\mathcal{T}_A = \{ U \cap A \mid U \in \mathcal{T}_X \}$.
• 积拓扑: $X \times Y$ 上使得投影映射连续的最粗拓扑。
• 商拓扑: 使得商映射连续的最细拓扑。