群论进阶 (Advanced Group Theory)

1. 群同态与同构定理

设 $f: G \to H$ 是群同态。

• 核 (Kernel): $\ker f = \{ g \in G \mid f(g) = e_H \}$. $\ker f$ 总是 $G$ 的正规子群。
• 像 (Image): $\text{im } f = \{ f(g) \mid g \in G \}$. $\text{im } f$ 是 $H$ 的子群。

第一同构定理

若 $f: G \to H$ 是群同态，则 $G / \ker f \cong \text{im } f$.

2. 群作用 (Group Action)

群 $G$ 作用在集合 $X$ 上是指映射 $\cdot: G \times X \to X$，满足：

1. $e \cdot x = x$.
2. $g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$.

• 轨道 (Orbit): $O_x = \{ g \cdot x \mid g \in G \}$.
• 稳定子 (Stabilizer): $G_x = \{ g \in G \mid g \cdot x = x \}$.
• 轨道-稳定子定理: $|G| = |O_x| \cdot |G_x|$.

3. 西罗定理 (Sylow Theorems)

设 $G$ 是有限群，$|G| = p^n m$，其中 $p$ 是素数且 $p \nmid m$。

1. $G$ 存在 $p^n$ 阶子群，称为 Sylow $p$-子群。
2. 所有的 Sylow $p$-子群都是共轭的。
3. 设 $n_p$ 是 Sylow $p$-子群的个数，则 $n_p \equiv 1 \pmod p$ 且 $n_p \mid m$.

4. 有限阿贝尔群结构定理

任何有限生成阿贝尔群同构于以下形式的直积：

$$\mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}_{n_1} \times \dots \times \mathbb{Z}_{n_k}$$

其中 $n_1 \mid n_2 \mid \dots \mid n_k$.