纽结理论 (Knot Theory)

1. 什么是纽结？

纽结 (Knot) 是圆 $S^1$ 到 $\mathbb{R}^3$（或 $S^3$）的光滑嵌入的像。

• 直观上，就是一根首尾相接的绳子在三维空间中打的结。
• 平凡结 (Unknot): 可以解开成标准圆环的结。
• 链环 (Link): 多个互不相交的纽结的并。

2. 纽结图与 Reidemeister 变换

• 纽结图: 纽结在平面上的投影，使得交叉点只有二重交叉，并标记上下关系。
• Reidemeister 变换: 两个纽结同痕（可以连续变形得到）当且仅当它们的投影图可以通过有限次以下三种变换相互转化：
  • Type I: 消除/增加一个扭结。
  • Type II: 两个绳圈重叠/分离。
  • Type III: 一根绳子滑过交叉点。

3. 纽结不变量

用于区分不同纽结的量。若两个纽结同痕，则其不变量相等。

• 三色性 (Tricolorability): 能否用三种颜色给图的弧段染色，使得每个交叉点处的三段颜色全同或全不同，且至少用到两种颜色。
• 琼斯多项式 (Jones Polynomial): 一个强大的多项式不变量。
• 亚历山大多项式 (Alexander Polynomial)。
• 亏格 (Genus): 纽结所围成的Seifert曲面的最小亏格。

4. 应用

• DNA 拓扑学。
• 统计力学模型。