矩阵李群 (Matrix Lie Groups)

1. 定义

李群 (Lie Group) 是一个群 $G$，同时也是一个光滑流形，且群运算（乘法与求逆）是光滑映射。

• 矩阵李群: $GL(n, \mathbb{C})$ 的闭子群。

2. 典型例子

1. 一般线性群: $GL(n, \mathbb{R}) = \{ A \in M_n(\mathbb{R}) \mid \det A \ne 0 \}$.
2. 特殊线性群: $SL(n, \mathbb{R}) = \{ A \in GL(n, \mathbb{R}) \mid \det A = 1 \}$.
3. 正交群: $O(n) = \{ A \in GL(n, \mathbb{R}) \mid A^T A = I \}$.
4. 特殊正交群: $SO(n) = \{ A \in O(n) \mid \det A = 1 \}$.
5. 酉群: $U(n) = \{ A \in GL(n, \mathbb{C}) \mid A^* A = I \}$.
6. 特殊酉群: $SU(n) = \{ A \in U(n) \mid \det A = 1 \}$.

3. 拓扑性质

• 连通性: $GL(n, \mathbb{C})$ 是连通的，但 $GL(n, \mathbb{R})$ 有两个连通分量（$\det > 0$ 和 $\det < 0$）。
• 紧性: $O(n), SO(n), U(n), SU(n)$ 是紧群；$GL(n, \mathbb{R}), SL(n, \mathbb{R})$ 是非紧群。

4. 指数映射 (Exponential Map)

对于矩阵 $X \in M_n(\mathbb{C})$，定义：

$$e^X = \sum_{k=0}^\infty \frac{X^k}{k!}$$

• 性质: 若 $XY = YX$，则 $e^{X+Y} = e^X e^Y$.
• $\det(e^X) = e^{\text{Tr}(X)}$.
• 指数映射将李代数映射到李群。