线性微分方程 (Linear ODEs)

1. 线性微分方程组理论

一般形式: $\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)$，其中 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$.

• 解的存在唯一性: 若 $A(t), \mathbf{f}(t)$ 连续，则初值问题有唯一解。
• 齐次方程: $\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x}$.
  • 解空间是 $n$ 维线性空间。
  • 基解矩阵 (Fundamental Matrix) $\Phi(t)$: 由 $n$ 个线性无关解组成的矩阵。
  • 通解: $\mathbf{x}(t) = \Phi(t)\mathbf{c}$.
• 非齐次方程: $\mathbf{x}(t) = \Phi(t)\mathbf{c} + \Phi(t) \int \Phi^{-1}(s)\mathbf{f}(s) ds$ (常数变易公式).

2. 常系数线性方程组

$\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$，其中 $A$ 是常数矩阵。

• 矩阵指数: 基解矩阵为 $e^{At}$.
• 解: $\mathbf{x}(t) = e^{At} \mathbf{x}(0)$.
• 计算 $e^{At}$:
  • 若 $A$ 可对角化 $A = P \Lambda P^{-1}$，则 $e^{At} = P e^{\Lambda t} P^{-1}$.
  • 若 $A$ 有 Jordan 标准型 $J = P^{-1} A P$，则 $e^{At} = P e^{Jt} P^{-1}$.

3. 高阶常系数线性方程

$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \dots + a_n y = f(x)$.

• 特征方程: $\lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + \dots + a_n = 0$.
• 根据特征根 $\lambda$ 的情况（单实根、复根、重根）写出基解。
  • 单实根 $\lambda$: $e^{\lambda x}$.
  • $k$ 重根 $\lambda$: $e^{\lambda x}, x e^{\lambda x}, \dots, x^{k-1} e^{\lambda x}$.
  • 复根 $\alpha \pm i\beta$: $e^{\alpha x} \cos \beta x, e^{\alpha x} \sin \beta x$.

4. 稳定性理论 (Stability)

讨论自治系统 $\mathbf{x}' = f(\mathbf{x})$ 的平衡点 $\mathbf{x}_0$ ($f(\mathbf{x}_0)=0$) 的稳定性。

• Lyapunov 稳定性: 初始状态靠近，解永远靠近。
• 渐近稳定性: 初始状态靠近，解趋于平衡点。
• 线性化判别法: 考察 Jacobian 矩阵 $J = Df(\mathbf{x}_0)$ 的特征值。
  • 若所有特征值实部均 $<0$，则渐近稳定。
  • 若有一个特征值实部 $>0$，则不稳定。