偏微分方程的导出 (Derivation of PDEs)

1. 什么是偏微分方程？

包含多元未知函数及其偏导数的方程。

• 一般形式: $F(x_1, \dots, x_n, u, u_{x_1}, \dots, u_{x_1 x_1}, \dots) = 0$.
• 阶数: 最高阶偏导数的阶数。

2. 常见的三类二阶线性方程

2.1 波动方程 (Wave Equation) - 双曲型

$$u_{tt} = c^2 \Delta u$$

一维情形: $u_{tt} = c^2 u_{xx}$.

• 物理背景: 弦振动、声波、电磁波。
• 推导:
  • 考察一根张紧的弦，取微元分析。
  • 根据牛顿第二定律 $F=ma$。
  • 假设张力 $T$ 很大，振幅很小。垂直方向合力 $\approx T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \Delta x$.
  • $\rho \Delta x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \Delta x \implies u_{tt} = \frac{T}{\rho} u_{xx}$.

2.2 热传导方程 (Heat Equation) - 抛物型

$$u_t = k \Delta u$$

一维情形: $u_t = k u_{xx}$.

• 物理背景: 热量扩散、粒子扩散。
• 推导:
  • 能量守恒: 区域内热量的变化率 = 流入的热流量 + 内部热源。
  • 傅里叶热传导定律: 热流密度 $q = -k \nabla u$ （热量从高温流向低温）。
  • $c \rho \frac{\partial u}{\partial t} = -\nabla \cdot q = \nabla \cdot (k \nabla u)$.

2.3 拉普拉斯方程 (Laplace's Equation) - 椭圆型

$$\Delta u = 0 \quad (\text{即 } u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0)$$

• 物理背景: 稳定场（电场、引力场）、稳态热分布、流体势。
• 调和函数: 满足拉普拉斯方程的函数。
• 泊松方程 (Poisson's Equation): $\Delta u = f(x)$. (有源场).

3. 定解条件

PDE 的通解通常包含任意函数，需要定解条件才能确定唯一解。

1. 初始条件 (Initial Conditions): $t=0$ 时的状态。
   • $u(x, 0) = \phi(x)$.
   • 对于波动方程，还需要速度初值 $u_t(x, 0) = \psi(x)$.
2. 边界条件 (Boundary Conditions):
   • 第一类 (Dirichlet): 给定边界上的值 $u|_{\partial \Omega} = g$.
   • 第二类 (Neumann): 给定边界上的法向导数 $\frac{\partial u}{\partial n}|_{\partial \Omega} = g$.
   • 第三类 (Robin): 给定值与导数的线性组合.