群 (Group)

1. 群的定义

一个非空集合 $G$ 连同一个二元运算 $\cdot: G \times G \to G$，如果满足以下公理，则称为一个群 (Group)：

1. 封闭性: $\forall a, b \in G, a \cdot b \in G$.
2. 结合律: $\forall a, b, c \in G, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
3. 单位元: $\exists e \in G, \forall a \in G, e \cdot a = a \cdot e = a$.
4. 逆元: $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$.

若群运算满足交换律，则称 $G$ 为阿贝尔群 (Abelian Group)。

2. 子群 (Subgroup)

设 $H \subseteq G$，若 $H$ 在 $G$ 的运算下也构成群，则称 $H$ 为 $G$ 的子群，记为 $H \le G$。

• 判定准则: $H \le G \iff \forall a, b \in H, a \cdot b^{-1} \in H$.

3. 循环群 (Cyclic Group)

若群 $G$ 由某个元素 $a$ 生成，即 $G = \langle a \rangle = \{ a^n \mid n \in \mathbb{Z} \}$，则称 $G$ 为循环群。

• 无限循环群同构于 $(\mathbb{Z}, +)$。
• $n$ 阶有限循环群同构于 $(\mathbb{Z}_n, +)$。

4. 陪集与拉格朗日定理 (Lagrange's Theorem)

设 $H \le G$。对于 $g \in G$，集合 $gH = \{ gh \mid h \in H \}$ 称为 $H$ 的左陪集。

• 拉格朗日定理: 若 $G$ 是有限群，则 $|G| = |H| \cdot [G:H]$。
  • 子群的阶整除群的阶。
  • 元素的阶整除群的阶。

5. 正规子群 (Normal Subgroup)

若 $\forall g \in G, gH = Hg$（即 $gHg^{-1} = H$），则称 $H$ 为 $G$ 的正规子群，记为 $H \unlhd G$。

• 正规子群是定义商群 (Quotient Group) $G/H$ 的基础。
• 商群运算: $(aH)(bH) = (ab)H$.