事件与概率

1. 随机试验与样本空间

• 样本空间 ($\Omega$): 所有可能结果的集合。
• 事件: 样本空间的子集。

2. 概率的公理化定义 (Kolmogorov 公理)

设 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 为概率空间。

1. 非负性: $\forall A \in \mathcal{F}, P(A) \ge 0$
2. 规范性: $P(\Omega) = 1$
3. 可列可加性: 若 $A_1, A_2, \dots$ 两两互不相容，则 $P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$

3. 条件概率与独立性

• 条件概率: $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$
• 全概率公式: $P(A) = \sum P(A|B_i)P(B_i)$
• 贝叶斯公式: $P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum P(A|B_j)P(B_j)}$
• 独立性: $P(AB) = P(A)P(B)$

推荐资源

• MIT OpenCourseWare: Introduction to Probability